La paradoja del mentiroso y la venganza

1. La paradoja del mentiroso

Esto es un clásico. Considérese la siguiente proposición, llámese proposición (1), la cual estipula lo siguiente:

(1): "(1)" es falsa

¿(1) es verdadera o falsa? Por un lado, si es verdadera, entonces lo que enuncia esta es verdad, por lo tanto es falsa -eso es lo que enuncia (1). Por otro lado, si es falsa, entonces se cumple su enunciado -el cual afirma que es falsa, por lo tanto (1) es verdad. Esta es la conocida paradoja del mentiroso, tenemos una contradicción.

2. Venganza

El mentiroso siempre vuelve a por la venganza. Uno podría intentar resolver la paradoja señalando que no es posible auto-referecia, es decir, que no es posible que una proposición se refiera a si misma, o que no es posible que su valor de verdad dependa del contenido de la misma proposición. Sin embargo, considérese esto:

(2a): "(2b)" es verdad

(2b): "(2a)" es falso

Aqui no tenemos auto-referencia, (2a) refiere a (2b) y viceversa. No obstante, tenemos una contradicción. Si lo que dice (2a) es verdad, entonces (2b) es falso. Sin embargo, (2b) dice que (2a) es falso, por lo tanto (2a) es falso; pero si (2a) es falso, entonces (2b) es verdad... y así se puede continuar. La solución anterior no va a servir, porque se puede reconstruir la paradoja sin auto-referencia e igual obtener una contradicción.

Otro podría tratar de rechazar la bivalencia de verdad en las proposiciones, es decir, señalar que hay proposiciones verdaderas, hay proposiciones falsas, y hay proposiciones que son ni verdaderas ni falsas. El mentiroso seria entonces un caso de una proposición que es ni verdadera, ni falsa (sino un tercer valor). ¿Esto ayuda? Considérese: 

(3): "(3)" no es verdad

(4): "(4)" es falsa, o ni verdadera ni falsa

Si (3) es verdad, entonces lo que establece es verdad, por lo tanto es falsa o ni verdadera ni falsa. Si (3) es falsa o ni verdadera ni falsa, entonces es verdad que (3) no es verdad, y por lo tanto es verdadera. El mismo problema ha vuelto a surgir. Lo mismo ocurre con (4). 

La misma suerte correría si agregamos un cuarto, quinto o cualquier valor extra. Por ejemplo:

(5) "5" es falso, o ni verdadero ni falso, o un cuarto valor

Quizás alguien podría querer señalar que el enunciado del mentiroso no tiene valor de verdad porque contiene una falsa presuposición; la de que hay una proposición expresada en la paradoja. Para esta estrategia se debe aprender la distinción entre lo que una proposición asevera, y entre lo que una proposición presupone. Por ejemplo, de la proposición:

(6) El rey de Estados Unidos es tonto  

dicho enunciado no asevera que hay un rey de los Estados Unidos, solo presupone que lo hay, y dado que es una presuposición falsa, no podemos evaluar el valor de verdad de dicha proposición (no es ni verdadero ni falso el que el rey de los Estados Unidos sea tonto). De la misma forma, la paradoja del mentiroso no tiene valor de verdad porque un enunciado falso, se puede decir, es sinónimo de que la proposición expresada por tal enunciado es falsa, pero que aquí no hay proposición expresada, solo presupuesta. Sin embargo, considérse:

(7) "7" es una proposición, y es falsa

En este caso no se presupone nada, se asevera explícitamente que (7) es una proposición. El asunto cambia, dado que cada vez que uno asevera algo que es falso (y no solo lo presupone), su valor de verdad es falso, no indeterminable (compárese: "El rey de Estados Unidos existe y es un tonto" no es indeterminable ni carente de valor de verdad, es simplemente falso). Por lo tanto (7) tendría que ser falso, y se vueve a la contradicción, porque pasaría a ser verdadero, y luego falso, y así. 

3. Conclusiones

¡Venganza!