Demostración de la infinita divisibilidad del espacio (y del tiempo)

Este argumento lo habia puesto en otro post. Pero creo que será bueno tenerlo aquí de forma isolada.

 Hay dos grandes concepciones  respecto al espacio¹.

Continuidad: El espacio no tiene una medida mínima (y posee infinitas divisiones)

Discretismo: El espacio tiene una medida mínima (y no posee infinitas divisiones)

Las visiones continuas del espacio señalan que entre un punto A y un punto B espacial, existen infinitos puntos espaciales (esto es; ½, ¼, ⅛, etc.). Las visiones discretas del espacio señalan que entre un punto A y un punto B espacial, hay una unidad mínima, una porción espacial mínima, la cual no puede ser más pequeña, y, por lo mismo, es indivisible en una parte más pequeña.

Es falso que el espacio sea discreto. Aquí va un argumento en favor de dicha conclusión².

Las personas que suscriban al espacio discreto deberían sostener este axioma, digámosle M:

Axioma M: Entre dos puntos espaciales A y B, la distancia entre dichos puntos es igual a algún número entero múltiplo de la distancia mínima.

El Axioma M es sumamente plausible. Para dos puntos espaciales A y B, si asumimos que hay una distancia mínima, entonces la distancia total que hay entre A y B es la distancia mínima multiplicada una cantidad n de veces. Por ejemplo, si la distancia mínima es 50 centímetros, y tenemos dos puntos espaciales A y B, dicha distancia es la distancia mínima multiplicada una cantidad n de veces. Por ejemplo, la distancia podría ser 50cm (multiplicada una vez), o 1m (multiplicada dos veces), 1.5m (multiplicada tres veces), 2m (multiplicada cuatro veces), 2.5m (multiplicada cinco veces), etc. Sería absurdo pensar que los puntos espaciales que conforman A y B pudieran ser menos que 50cm (asumimos que esa es la distancia mínima). Tiene que ser un número entero porque la cantidad de veces que se multiplica la distancia mínima entre A y B es entera siempre (x1, x2, x3, x4, etc.).

Ahora, pensemos en un cuadrado (Fig 1). Que la distancia de la longitud de los lados del cuadrado (las esquinas adyacentes) sea “s”, y la distancia de las diagonales (las esquinas opuestas) “d”. Sea la distancia mínima “m”.

Fig. 1

Dado el Axioma M, la distancia entre los lados (“s”) como la de las diagonales (“d”), deben ser múltiplos enteros de la distancia mínima (“m”). Esto se puede representar de la siguiente forma:

s = n*m

d = k*m

Donde “n” y “k” son números enteros que representan cuántas veces la distancia mínima está contenida en las distancias “s” y “d” (la cantidad de veces que se ha multiplicado la distancia mínima).

Analicemos la relación entre la diagonal y el lado del cuadrado, sea esto d/s. Si sustituimos las expresiones para “d” y “s” por los equivalentes que anteriormente planteamos, obtenemos la siguiente operación:

(k*m) / (n*m)

La distancia mínima “m” se repite en el numerador y en el denominador. Apliquemos la Regla de Propiedad de Cancelación, básica en el álgebra. La operación, finalmente, se expresa así:

(k/n)

Esto significa que el resultado de dicha operación debe ser un número entero, esto debido a que n y k son números enteros (la cantidad de veces que se repitió la distancia mínima), y sabemos que todo número entero dividido por otro número resulta siempre en otro número entero. Por lo tanto, d/s es un número racional (todos los números enteros son racionales).

Sin embargo, dicha conclusión es falsa. Pensemos en un cuadrado, cuya base es la diagonal del cuadrado anterior (Fig. 2). Que el área del cuadrado pequeño sea s², y que d² sea el área del cuadrado grande³.

Fig. 2

Como podemos apreciar, el área del cuadrado grande es el doble del área del cuadrado pequeño (el cuadrado pequeño está hecho de dos triángulos, mientras que el cuadrado grande está hecho de cuatro triángulos del mismo tamaño). Dado esto, podemos representar lo dicho mediante esta ecuación:

d² = 2s²

Para obtener la relación d/s, dividimos ambos lados de la ecuación por s². Esto resulta en:

d²/s² = 2s²/s²

Simplificamos s² en el lado derecho de la ecuación, resultando en:

d²/s² = 2

Para obtener la relación entre d y s, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Esto nos conduce a lo sigueinte:

√d²/s² = √2

resultando, finalmente, en que la relación d/s resulta en la raíz cuadrada de 2:

d/s =√2

¿Cuál es el problema? Es evidente. La raíz cuadrada de 2 no es un número racional, y, sin embargo, por la primera prueba, habíamos demostrado que la relación d/s debía ser un número racional. Por lo tanto, a menos que estemos dispuestos a revisionar de manera muy radical nuestra aritmética y geometría actual, debemos admitir que entre dos puntos espaciales A y B no hay una distancia mínima. El espacio es continuo.

_______________________________

¹ Todo lo dicho aquí aplica también para el tiempo.

² Este argumento tiene su origen en el Menón de Platón (84d-85b), contemporáneamente, una muestra de su aplicación para la conclusión continua del espacio ha sido explorada por Huemer (2016, pp. 55-56).

³ Se representan sus áreas como “s²” y “d²” como elevadas al cuadrado, porque, en geometría, el área de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de uno de sus lados por sí mismo. Dado que la longitud del cuadrado original es “s”, el área se representa como “s²”