La verdadera solución a la paradoja de Zenón

1. El problema

Supóngase que Aquiles intenta recorrer desde un punto A a un punto B. Para llegar a B, Aquiles primero debe recorrer 1/2 de distancia, luego recorrer la mitad de la distancia restante, 1/4, y luego la mitad de la distancia restante, 1/8, y luego la mitad de la distancia restante, 1/16, y así ad infinitum. 

El problema yace en que nadie puede emprender y terminar una secuencia de infinitos pasos. No hay un momento en el que acabes tal secuencia (intenta contar todos los números naturales y finalizar dicho conteo). Por lo tanto, Aquiles no puede emprender el recorrido de A hacia B y terminarlo. Se sigue que nadie puede recorrer desde un punto A hacia un punto B, porque, para hacerlo, eso nos demoraría una cantidad infinita e incompletable de pasos previos para culminar el recorrido. Este argumento es bastante famoso.

2. El razonamiento

En premisas, el argumento iría de la siguiente manera

P1. Para recorrer de A hacia B se debe recorrer una serie de 1/2, 1/4, 1/8....

P2. Una serie de {1/2, 1/4, 1/8...} es una serie sin final

P3. Es imposible completar una serie sin final

C. Es imposible recorrer de A hacia B

Esto captura de buena manera lo que representa la paradoja. Uno no puede completar una serie sin final. 

3. Una mala solución

Uno podría verse tentado a concluir simplemente algo como lo siguiente: 

Bueno, la paradoja muestra algo de forma bastante clara, y es que uno no puede señalar que entre A y B hay infinitas divisiones espaciales por recorrer. Entre A y B, por lo tanto, solo hay finitas divisiones, y eso sí se puede recorrer. El espacio no es infinitamente divisible.

Esto soluciona la paradoja original, efectivamente, pero el problema creo que es obvio; el precio es grande. ¿Realmente alguien puede querer hacer tal cometido ontológico para solucionar esta paradoja (que a primera vista, a todos nos suena a un chiste nerd)?

Habriamos demsotrado que nuestras principales teorías fisicas, que dan por hecho al espaciotiempo como continuo son incorrectas, y todo por medio de una paradoja planteada hace miles de años (Earman & Norton, 1996), ¿es realmente un precio a pagar factible? 

4. Equívoco: la solución real

La solución correcta es señalar que el argumento confunde dos tipos de sentidos en los que se puede entender el completar y el sin final dentro del razonamiento de Zenón. Hay dos sentidos para cada uno en los que se puede entender que una serie S es una serie sin final y en los que se puede completar dicha serie. Estos son:

Sin final-(1) = S no tiene un miembro final

Sin final-(2) = No hay un tiempo en el que cada miembro de S haya ocurrido

Completar-(1) = El último miembro de S ha ocurrido

Completar-(2) = Todo miembro de S ha ocurrido

Efectivamente, si S es una serie Sin final-(1) no puede ser Completada-(1), y si es Sin final-(2) nunca será Completada-(2). No obstante, es una confusión pensar que una serie S que es Sin final-(1) no pueda ser Completada-(2). Lo que es lo mismo decir: del hecho de que una serie no tenga un miembro final, no se sigue que no podamos ir por todos los miembros de dicha serie.

El error nace de que, en casos finitos, ir por todos los miembros de una serie S implica ir por el último miembro de dicha serie. Por ejemplo: pasar por las 3 casas del vecindario implica llegar a la última casa, la tercera. No obstante, esto no aplica para series donde no hay un último miembro.

Para ver lo anterior, piénsese en lo siguiente:

Imagina que te encargo cuidar de todas mis mascotas en vacaciones. Si yo tuviese una tortuga, tendrías el encargo de cuidar de mi tortuga en vacaciones. Sin embargo, si yo no tengo una tortuga, no es parte de tu encargo el cuidar a mi tortuga inexistente. 

De la misma manera, si tenemos una serie S que tiene un miembro final, entonces pasar por el miembro final es requerido para completar S. Pero si S no tiene un miembro final, para recorrer S no es requerido pasar por el miembro final inexistente de S para completarla; todo lo que se requiere es recorrer por todo miembro de S en algún momento. 

En el caso de la paradoja de Zenón, del hecho de que sea una serie Sin Final-(1), no se sigue que no pueda ser Completada-(2). Cuando Aquiles pasa de A hacia B, lo que hace es recorrer por todos los miembros entre A y B, unque no haya un miembro final por el cual pase; pero no porque no haya recorrido todos los miembros de la serie, es simplemente porque no hay un miembro final en dicha serie que tenga que recorrer. Insisto, en caso de series finitas, para completar una serie es verdad que se debe pasar por el miembro final de dicha serie, pero uno tiene que hacer presión en el hecho de que esto no es verdad para series infinitas en donde dicho miembro final no existe simplemente. Es una conclusión curiosa (el que uno puede cruzar una serie entera sin antes pasar por el último miembro), pero no más que eso, y el problema se disuelve.

Conclusión

La premisa P2, al señalar que la serie no tiene un miembro final, está afirmando que dicha serie es Sin Final-(1). De ahí nos podemos preguntar, ¿realmente no se puede completar? Bueno, la respuesta es que depende. Mientras que no se puede Completar-(1) -básicamente porque no hay un miembro final al que nos podamos referir, sí que se puede Completar-(2). De un mismo paso podemos recorrer por cada miembro. El argumento concluiría, correctamente, que dicha serie no se puede Completar-(1), pero no que no se pueda Completar-(2).