La paradoja Grim Reaper: una refutación

0. El Kalam y el finitismo causal

El argumento Kalam propuesto por Alexander Pruss para demostrar la existencia de dios, podría ser formalizado en estos términos:

(1)    Hay causalidad

(2)    No hay círculo de causas.

(3)    No hay una regresión infinita de causas.

(4)    Si (1)–(3), hay una causa sin causa.

(5)    Entonces, hay una causa sin causa.

(6)    Si hay una causa sin causa, Dios existe.

(7)    Entonces, Dios existe.

Para apoyar la premisa (3), la cual señala un número infinito de causas hacia el pasado (regresión infinita), se suelen presentar paradojas que se derivarían de este tipo de escenarios en donde tenemos una serie infinita de causas sin un comienzo determinado. Al ser estos escenarios absurdos, se nos invita a pensar que no hay regresión infinita de causas, y, por lo tanto, que son finitas. Esta tesis es llamada finitismo causal, la cual demanda la existencia de una primera causa incausada, dios. La paradoja Grim Reaper es una de estas paradojas.

1. Paradoja Grim Reaper

Tomemos la paradoja Grim Reaper propuesta por Robert Koons en A New Kalam Argument: Revenge of the Grim Reaper, la cual es una modificación de la misma a la cual él llama Grim Placer, que no tiene diferencias relevantes con respecto a la original. El escrito de Koons es excéntricamente técnico, contiene lenguaje especializado y requiere introducción a modalidad, principios de recombinación, teoría de las contrapartes, etc., y aunque podría explicarlo, me limitaré a solo dar su versión de la historia, y cómo él consigue una contradicción de la misma.

Consideremos a los Grim Placers, los cuales tienen que cumplir una misión determinada, en este caso, la misión de cada Grim Placer es colocar un punto en una hoja de papel, dígase, hoja P. Cada Grim Placer #n (donde n puede ser reemplazado por cualquier número) revisa si es que un Grim Placer anterior ha colocado un punto en esa hoja de papel; si hay un punto en el plano P, entonces el Grim Placer no hace nada y mantiene el status quo, si no hay un punto en el plano P, entonces el Grim Placer actúa y coloca dicho punto en el plano P.

Ahora, consideremos un número infinito de Grim Placers ordenados entre las 12:00 y las 12:01, siendo el Grim Placer de las 12:01 el Grim Placer #1, a su vez, cada Grim Placer #n se ubicará fraccionado equivalentemente (½. ¼, ⅛, etc.,), es decir, mientras que el Grim Placer #1 se encuentra a las 12:01, el Grim Placer #2 se encontrará a las 12:00:30, el Grim Placer #3 a las 12:00:15, el Grim Placer #4 a las 12:00:07.5, y así sucesivamente ad infinitum.

Lo que el argumento ahora nos manda a verificar, es si algún Grim Placer cumplió su misión, y que verificando esto que podremos obtener la contradictoria conclusión de que después de las 12:01 hay algún Grim Place que cumplió su misión colocando el punto en la hoja P, y a su vez, que no hay ninguna Grim Placer que haya cumplido su misión colocando el punto en la hoja P.

Supongamos que no se encuentra ningún punto en la hoja P. Si es así, el Grim Placer #1 actúa. Entonces el Grim Placer #1 actúa. Sin embargo, este no pudo actuar, debido a que esto aplica también para el Grim Placer #2, el cual verifica si no hay un punto en la hoja P. Dado que es así, este actúa. Entonces el Grim Placer #2 actúa, haciendo falso que el Grim Placer #1 actúa. Peor aún, esto aplica también para el #3, y así sucesivamente. Por lo tanto, aunque algún Grim Placer tuvo que haber actuado, ninguno pudo haber actuado.

Pruebas de la contradicción.

En términos más formales, podemos probar tanto que un Grim Placer actuó, como que ningún Grim Placer actuó.

Prueba A: Algún Grim Placer actuó.

1. Asumamos por reductio: Ningún Grim Placer actuó en ningún momento.

2. Considérese algún Grim Placer #n.

3. Por hipótesis, Ningún Grim Placer con un número #m mayor qué #n ha actuado

4. Por definición del rol de los Grim Placers, si ningún Grim Placer #m con un número mayor que #n actuó, entonces el Grim Placer #n actuó.

5. Entonces, el Grim Placer #n ha actuado.

6. Contradicción. (1, 5)

Prueba B: Ningún Grim Placer actuó.

1. Por la prueba anterior, sabemos que algún Grim Placer ha actuado. Dígase, Grim Placer #n.

2. Por la definición del rol del Grim Placer, si el Grim Placer #n ha actuado, entonces ningún Grim Placer #m actuó, donde m > n.

3. Entonces, ningún Grim Placer #m, en donde m > n ha actuado. (1, 2)

4. Entonces, ningún Grim Placer #m, en donde m > n+1 ha actuado. (3)

5. Por definición del rol del Grim Placer, si ningún m > n+1 ha actuado, entonces el Grim Placer #n+1 ha actuado. Entonces el Grim Placer #n+1 ha actuado. (4)

6. Pero, el Grim Placer n+1 > n. Contradicción. (3, 5)

Según la prueba A, dado que ningún Grim Placer #m actuó, el Grim Placer #n (digamos, el #1), el cual es el menor de todos, actúa. Pero, según la prueba B, esto aplica para el Grim Placer #n+1 (digamos, el #2), entonces el Grim Placer #n+1 al ver que ninguno otro actuó, actúa. No obstante, esto significa que el Grim Placer #n no actúa, sino el #n+1. Dado que esto aplica también para todos los Grim Placers, tenemos que ninguno actúa.

Las dos pruebas nos muestran deductivamente que algún Grim Placer actuó, pero a su vez, que ningún Grim Placer actuó, siendo esta una contradicción lógica. 

2. El Grim Reaper y otras paradojas de Benardete

La paradoja Grim Reaper o Grim Placer no son originarias de Pruss o Koons. En su lugar, es un estilo de paradoja que es originaria de José Benardete en Infinity: An Essay in Metaphysics (1964), en donde se plantea a un hombre que intenta cruzar 1 milla desde el punto A al B. Un dios bloqueará su camino con un muro de concreto cuando haya recorrido ½ de milla, mientras que otro dios (desconocido para el primero) levantará otro muro de concreto cuando haya recorrido ¼, y así ad infinitum, lo cual nos pone en la situación de que el hombre se quedará en el punto A, pero a su vez, que no hay ningún muro de concreto que haya podido bloquear su camino, dado que cada muro de concreto bloqueará su camino solo si no hay un muro de concreto anterior que lo esté bloqueando.

Igualmente, esto se ve reflejado en otras paradojas, como la paradoja de Yablo (1993), la cual es una versión de la paradoja del mentiroso, pero sin autorreferencia. Considérese la siguiente cantidad infinita de proposiciones:

S1: Todas las proposiciones siguientes a esta son falsas
S2: Todas las proposiciones siguientes a esta son falsas
S3: Todas las proposiciones siguientes a esta son falsas
…
Sn:  Todas las proposiciones siguientes a esta son falsas
….

En este caso, cada proposición es verdadera si y solo si no hay una proposición verdadera que le siga, y será falsa si y solo si hay una proposición verdadera que le siga.

Supongamos que S1 es verdadera, entonces todas las proposiciones que siguen son falsas. Pero, si esto es así, el mismo análisis se puede hacer para S2, dado que todas las que siguen a S2 son falsas, S2 es verdadera, contradiciendo a S1.

Ahora, si suponemos que S1 es falsa, entonces alguna proposición que sigue debe ser verdadera (porque estamos negando que todas sean falsas al dar como falsa a S1). Supongamos que Sn es verdadera (donde n puede ser reemplazado por cualquier número). En dicho caso, volvemos al inicio, dado que, si Sn es verdadera, y Sn dice que todas las demás proposiciones son falsas, entonces el mismo análisis aplica para Sn+1, y dado que todas las proposiciones que siguen a Sn+1 son falsas, entonces Sn+1 es verdadera, contradiciendo el valor de verdad de Sn, que sería ahora falso. Para un análisis más detallado de la paradoja de Yablo, se puede revisar Cook (2020).

El propio Yablo (2000) posteriormente haría una versión explícita de la paradoja de Benardete con un escenario en que un demonio dice “SÍ” solo si no existe un demonio anterior que haya dicho “NO”. Otras versiones se encuentran en Priest (1999) y en Laraudogoitia (2003).

Vemos entonces como las paradojas de Benardete son más antiguas de lo que parecen ser, y que no tienen su origen en el debate del Kalam, ni en Pruss o Koons. De hecho, es una familia de paradojas, y el Grim Reaper o el Grim Placer son solo otras paradoja de Benardete. 

3. El diagnóstico del par insatisfactible

3.1 Pares insatisfactibles

Consideremos estas dos proposiciones:

A: Javier pesa más que Juan

B: Juan pesa más que Javier

Estas proposiciones pueden ser ambas verdaderas independientemente. Podría ser el caso que alguien llamado Juan sea más pesado que Javier. De la misma forma, es posible que exista alguien llamado Javier que sea más pesado que Juan. Son proposiciones que de manera independiente no generan problemas.

El problema real, nace cuando queremos que ambas proposiciones sean verdaderas. No de forma independiente, sino a la vez. Esto no es posible, Javier no puede pesar más que Juan (A), y a la vez no pesar más que Juan (B), ni Juan pesar menos que Javier (A) y a la vez no pesar menos que Javier (B).

Otro clásico ejemplo podría ser el que existe entre:

A: Fuerza imparable

B: Objeto inamovible

Ignoro si es posible que exista A o B independientemente. Pero asumamos que sí. El punto aquí es que, aunque fuera así, no es posible que ambas existan a la vez. Si existe un objeto imparable, no podría existir un objeto inamovible, que por definición pararía al objeto imparable, y viceversa, un objeto imparable por definición movería al objeto inamovible, de lo contrario habría sido parada y no sería imparable. Ambos no pueden ser ciertos a la vez, aunque independientemente si puedan.

Esto es un par insatisfactible, reconocemos que ambas cosas, proposiciones, objetos, etc., pueden ser posibles independientemente, pero no a la vez. Hay algunos pares insatisfactibles más obvios que otros.

3.2. La estructura de la paradoja del Grim Raper (y todas las del tipo Benardete)

La paradoja Grim Reaper formulada por Pruss, o el Grim Placer formulado por Koons, comparten la singularidad de que postulan una regla determinada para cada uno de los Grim Reapers o Grim Placers, a saber, que instanciarán una propiedad P si y solo si no hubo otro Grim Reaper o Grim Placer anterior que haya instanciado esa propiedad P, donde P puede ser matar a alguien o dibujar un punto en una hoja.

Así lo escribe Pruss:

Un Grim Reaper es un ser que tiene las siguientes propiedades: Se despierta en un horario entre las 8 y las 9 de la mañana [...] si estás vivo, instantáneamente te mata, y si no estás vivo, no hacer nada

Koons hace lo suyo también:

Cada Grim Reaper […] verifica si algún Reaper anterior ha cumplido su orden Si ya se ha colocado una partícula en uno de los lugares designados, el Grim Reaper #n no hace nada más que mantener el statu quo. Si no hay ninguna partícula en un lugar apropiado, entonces Grim Reaper #n realiza su orden, colocando una partícula […]. (2014, pág. 2)

Esta estructura es común en todas las paradojas de Benardete. En la paradoja original de 1964 por José Benardete sucede igual, dado que para que una pared de concreto bloquee un camino, no debe haber una pared anterior que ya lo esté bloqueando, esto es: una pared bloqueará el camino, si y solo si, una pared anterior no está bloqueando el camino. Lo mismo sucede con la paradoja de Yablo, los demonios de Yablo, Priest, y todos los demás proponentes de las paradojas de Benardete.

Volviendo al análisis inicial, la regla es la siguiente, llámese "Acontece si no Ocurrió Antes" (AOA).

AOA: Para todo x en un set S, ocurre P si y solo si P no ocurrió en ningún anterior x

Donde x puede ser un Grim Reaper, un Grim Placer, una proposición semántica al estilo de Yablo, una pared de concreto, etc., y donde P sea el colocar un punto en una hoja, matar a alguien, bloquear a alguien, etc. En este caso, se dará P para cada x si P no se dio en un x anterior.

Ahora, el set del que se habla en las paradojas de Benardete, son sets que están infundados primariamente, es decir, que carecen de un primer miembro, son sets que son infinitos hacia atrás, a saber:

|…, -5, -4, -3, -2, -1, 0|

A diferencia de un set bien fundado, el cual cuenta con un primer miembro:

|-5, -4, -3, -2, -1, 0|

Mientras que el cardinal del primer set es aleph-null (infinito), el cardinal de este segundo set son exactamente 6 números contando al 0.

Las paradojas de Benardete no ocurren con sets fundados, o finitos y con primer miembro. Supongamos que en la historia del Grim Placer o Grim Reaper solo hubieran 30 Grim Reapers. En dicho caso, el Grim Reaper que pondría un punto en la hoja bond, o que mataría a alguien, sería el último Grim Reaper, el #30, debido a que si se empieza a aplicar la regla AOA desde el #1 acabaremos llegando a un primer Grim Reaper que acabe con la secuencia. Esto ocurre a su vez con todas las demás paradojas de Benardete. 

Entonces, vemos que la segunda condición para generar una paradoja de Benardete, además de la regla AOA, es que se necesita un set S el cual sea infundado, infinito, o que no posea un primer miembro, llámese a este un set SI (Set Infundado).

SI: Un set S que no posee un primer miembro

Las paradojas Grim Reaper, y todas las paradojas de Benardete, para derivar contradicciones, requiren que AOA y SI se cumplan a la vez.

3.3. AOA y SI: Pares insatisfactibles

Pruss y Koons nos invitan a pensar que el pasado no puede ser infinito debido a que la paradoja Grim Reaper nos lleva a contradicciones lógicas. Lo que hacen Pruss y Koons es culpar por la contradicción al pasado infinito, o a la infinita serie causal, y por lo tanto lo rechaza.

Sin embargo, esto es un paso extra que no tenemos por qué realizar. Como Shackel (2005) o Malpass (2020) ya han notado, no es necesario negar el infinito por sí solo, lo único que es necesario es negar que AOA y SI sean composibles a la misma vez, esto es, que son pares insatisfactibles. En este caso:

AOA: Para todo x en un set S, ocurre P si y solo si P no ocurrió en ningún anterior x

SI: Un set S que no posee un primer miembro

Es posible que se de la regla AOA. Podría haber Grim Reapers con las órdenes de hacer una acción P si y solo P no lo hizo un anterior Grim Reaper. Por ejemplo, si solo hubieran 30 Grim Reapers, el Grim Reaper #30 -el primero- haría P por esta regla.

También es posible que exista un set S que no posea un primer miembro. Por ejemplo, es posible que el pasado sea infinito, y que, por lo tanto, no haya un primer momento en la historia causal temporal. El universo, por ejemplo, podría ser infinito hacia el pasado, siendo esto una regresión infinita.

Ambas condiciones, AOA y SI, se pueden dar independientemente. Lo que no es posible, es que ambas a la vez ocurran. Esto soluciona todas las paradojas previamente descritas, tanto las versiones de Yablo, Priest y Laraudogoitia, como la misma versión original de Benardete: las historias que nos narran simplemente son lógicamente imposibles, pero no porque el pasado infinito sea imposible, o porque el infinito tenga algo de absurdo, tampoco porque la condición AOA sea absurda en si misma. 

La razón por la que las contradicciones ocurren, es porque intentamos juntar AOA y SI a la vez. Pero ocurre lo mimo con la fuerza imparables y los objetos inamovibles, o con el peso de Juan y Javier, todas estas cosas se pueden dar por separado, pero no a la vez. En dicho caso, no hay razón para negar el infinito en ningún aspecto, lo único que se necesita es negar que el infinito pueda ser combinado con la regla AOA, esto porque AOA y SI son pares insatisfactibles. 

4. Conclusiones

Shackel (2005) ha mostrado que la condición AOA y SI son lógicamente inconsistentes. Esto lo hizo mediante una prueba deductiva (pág. 3-4). Mientras que Malpass (2020) ha reafirmado que la estructura del Grim Reaper, y de todas las paradojas de Benardete son la conjunción de AOA y SI.

Mientras que Pruss y Koons nos invitan a pensar que esto muestra que no puede existir un pasado infinito, lo que el diagnóstico del par insatisfactible nos señala, es que estamos echándole la culpa al infinito, siendo que es inocente. El problema real no es este mismo. El problema real es juntar un set infinito con la regla AOA, el problema real son las órdenes que les damos a los Grim Reapers en dicho set infundado, y no al set infundado o a la regla AOA por si solos.

Tanto los proponentes del par insatisfactible, como los del finitismo causal, pueden estar de acuerdo en que la paradoja Grim Reaper deriva en una contradicción lógica. En lo que difieren, sin embargo, es en el porqué es contradictorio. Mientras que los finitistas causales echarán la culpa al infinito, los que proponemos el diagnóstico del par insatisfactible, solo decimos que una regla como AOA no puede juntarse con un set SI. 

Esto, a su vez, nos permite solucionar todas las demás paradojas de Benardete con la misma eficacia que el finitismo causal, no obstante, es incluso mejor, dado que el diagnóstico del par insatisfactible lo único que señala es que no pueden existir Grim Reapers con la regla AOA en un SI, es decir, sin postular factores ontológicos. Mientras tanto, el finitismo causal sí que nos postula diversos factores ontológicos, como la imposibilidad de un tiempo infinito hacia el pasado, un número infinito de causas, etc., siendo esto algo sumamente costoso.

El diagnóstico del par insatisfactible no hace nada de esto, siendo una tesis que soluciona las paradojas del Grim Reaper y todas las versiones de Benardete, e incluso paradojas que no soluciona el finitismo causal, como la paradoja de Yablo. Todo sin postular nada a nivel ontológico, solo negando que AOA y SI sean composibles, es decir, una tesis inofensiva con poder explicativo. De esta forma, no tenemos por qué aceptar el finitismo causal para solucionar el Grim Reaper si no es necesario para solucionarlo. 

La segunda parte de esta serie de análisis críticos al Grim Reaper se encuentra aquí, en este caso, analizando si se puede aplicar la misma paradoja al futuro infinito.